Il dilemma del viaggiatore

Un paio di settimane fa, sul mio social network preferito (Friendfeed) c’è stata un’interessante discussione su un apparente paradosso nella teoria dei giochi: il Dilemma del viaggiatore. Il problema è stato proposto nel 1994 dall’economista indiano Kaushik Basu, e nella sua rappresentazione dematematizzata vede due passeggeri di un aereo a cui è stata perduta una valigia. Curiosamente le due valigie avevano esattamente lo stesso contenuto: il guaio è che la compagnia aerea non sa quale sia il valore, e deve dunque chiederlo ai proprietari A e B. Per evitare che costoro facciano la cresta, i due vengono messi in stanze separate e viene loro chiesto di indicare il valore del contenuto, in una forchetta da 100 a 300 euro (i valori espliciti sono usati per comodità, ma non sono importanti). A questo punto la compagnia stabilisce che il valore reale dei bagagli sia il minore dei due: ma c’è un’ulteriore clausola. Se i valori indicati non sono identici, toglierà una quota (la “multa”) a chi ha indicato la cifra maggiore per darla all’altro. Facciamo un esempio pratico. Immaginiamo che la multa sia di 20 euro, A ha scritto 100 euro e B 150. A riceverà allora 100+20 euro, e B 100−20 euro.

Che dice la teoria dei giochi al riguardo?

Beh, basta fare un po’ di conti: ma non preoccupatevi, ve li faccio io. Ad A non conviene scrivere 300 euro: se B scrivesse un valore più basso allora A non solo otterrebbe quel valore ma perderebbe anche i soldi della multa, e anche se B scrivesse 300 euro ci sarebbe una scelta migliore per A: scrivere lui 299 euro, e ottenerne in tutto 319. Per le stesse ragioni, neppure B scriverà 300 euro. Ma lo stesso ragionamento può essere fatto per una qualunque altra cifra superiore ai 100 euro: se A sapesse cosa ha scritto B, allora potrebbe cambiare la sua scelta e ottenere una cifra maggiore. L’unica scelta teoricamente ottimale, per cui a nessuno dei giocatori conviene cambiare scelta anche sapendo cosa farà l’altro (nota: questa è proprio la definizione di Equilibrio di Nash) è che ciascun viaggiatore indichi la somma piu bassa, 100 euro. Questo rsultato si ottiene anche se i due viaggiatori possono accordarsi prima di scrivere il valore presunto, sempre che l’effettiva indicazione del valore sia fatta segretamente: nessuno dei due si può infatti fidare dell’altro, e si riparte con lo stesso ragionamento di cui sopra. Di nuovo, questo è normale se abbiamo un equilibrio di Nash: ricordo ancora che esso non dà una soluzione completamente ottimale, che in genere non esiste, ma solo un massimo locale “egoista”.

Fin qui non c’è nulla di strano: se ci pensate un momento, è la stessa situazione del dilemma del prigioniero, dove la strategia migliore per la coppia non è quella migliore per il singolo prigioniero e così i due finiscono con lo scegliere una strategia perdente. Cosa succede però se si prova a fare un esperimento pratico, prendendo due persone vere e non due computer? Basu ha scoperto che se la multa non viene percepita come percentualmente alta rispetto al totale allora i giocatori non seguono la teoria, ma tendono a indicare una cifra molto più alta del minimo, anche se probabilmente non il massimo della forchetta possibile. Il paradosso? In questo modo i giocatori guadagnano più soldi di quanto previsto dall’equilibrio di Nash. Come mai?

Beh, nulla di davvero strano. Ricordate innanzitutto che un equilibrio di Nash per definizione non è il risultato di un processo collaborativo, come ho scritto sopra. Questo significa che non deve essere per forza una soluzione globalmente ottima: d’altra parte, la grandezza della teoria di Nash è proprio stata quella di ampliare i risultati di Von Neumann e Morgenstern che trovavano sì una soluzione ottimale ma solo nei (relativamente pochi) casi in cui essa esiste. Per fare un esempio non corretto ma che può dare un’idea, quando si è in cima a una collina si scenderà da qualunque parte si vada, ma non è detto che ci si trovi nel punto più alto di quella zona. Torniamo dunque ai nostri giocatori. Quello che essi tenderanno a fare – anche lasciando perdere il desiderio di fargliela pagare alla compagnia aerea – è indicare una cifra che secondo loro è equa rispetto al valore della valigia persa, senza mettersi a pensare cosa potrebbe fare l’altro. In questo caso questa strategia “stupida” diventa implicitamente (semi)collaborativa e quindi dà un risultato migliore. Ripeto: se uno crede che il valore dei suoi bagagli fosse 180 euro e la multa se si indica la cifra maggiore è di 20 euro, probabilmente scriverà un valore tra i 180 e i 200 euro, accettando il rischio di ottenere un po’ di meno ma ritenendo più “logico” fare così. Presumo che un tipo di ragionamento di questo tipo sia difficile da insegnare a un computer: ma qui entriamo nella differenza tra formule matematiche ed economia emotiva che è tutta un’altra.

Voi che ne pensate?

Post Scriptum: ah, non aspettatevi che su Friendfeed i partecipanti si siano trovati d’accordo su una soluzione specifica: lì non capita mai. D’altra parte l’importante non è il punto di arrivo ma il percorso compiuto per (non) arrivarci…

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