Invalsi 2014: speravo in meglio

[problema Invalsi]Anche quest’anno ci sono state le prove Invalsi – alcuni esempi li trovate qui sul Post – e anche quest’anno ci sono state le solite polemiche. Per una volta mi associo timidamente anch’io, raccontando di uno dei problemi matematici. Eccovi il testo, con le quattro risposte possibili: voi come l’avreste risolto?

Leonardo vuole costruire una mensola. La parte sporgente delle assi della mensola è di lunghezza uguale a quella del lato del quadrato centrale. Qui sotto è riportato lo schema della parte posteriore della mensola con le misure. Affinché la mensola sostenga il peso dei libri è necessario mettere una sbarretta d’acciaio che colleghi il punto A con il punto B come nello schema. Quanto deve essere lunga la sbarretta?

  • a. Circa 11 dm.
  • b. Circa 16 dm.
  • c. Circa 20 dm.
  • d. Circa 25 dm.

[segmenti ausiliari] Quando ho visto il problema, la mia prima idea è stata “Semplice: immagino di disegnare un triangolo rettangolo, mostrato in rosso nella figura qui a destra. I due cateti sono lunghi 15 e 5 dm; l’ipotenusa deve essere maggiore di ciascun cateto perché è il lato più lungo di un triangolo rettangolo. Ma in ogni triangolo un lato deve essere minore della somma degli altri lati, quindi non si può arrivare a 20 dm; l’unica risposta possibile è pertanto la b”. D’accordo, c’è un problema minore legato al fatto che 19,9 dm è circa 20 dm e permetterebbe di costruire un triangolo; ma è una semplice sbavatura, e soprattutto è una soluzione che non richiede di calcolare radici quadrate, il che è coerente con il fatto che le risposte possibili siano tutte arrotondate. Per la cronaca, il risultato esatto è √250 dm; visto che 16² = 256, si ottiene circa 15,8 dm. Invece, a quanto pare, le risposte considerate valide nella famigerata griglia data agli insegnanti richiedevano entrambe di usare il teorema di Pitagora, con il triangolo rettangolo disegnato in rosso oppure il mezzo quadrato in verde. In calce a questo post trovate il testo contenuto nella griglia.

Perché non mi piacciono quelle risposte? Per tanti motivi. Innanzitutto, danno una visione della matematica come roba da macchinette; sembra quasi che il ragazzo debba dire “Pitagora!” come riflesso pavloviano non appena vede un triangolo rettangolo. In secondo luogo, nonostante il problema richiedesse esplicitamente una soluzione approssimata, un calcolo pedissequo con il teorema di Pitagora farà quasi sicuramente smadonnare il quattordicenne che si ritrova una radice quadrata, e nella migliore delle ipotesi si metterà a fare il quadrato delle varie possibilità indicate per vedere qual è il valore più vicino a quello da lui trovato per il quadrato sull’ipotenusa (o sulla diagonale). Infine sapere che la strada sull’ipotenusa è più corta di quella che percorre i due cateti è una cosa che sappiamo tutti implicitamente quando attraversiamo un parco: vedere che la si può applicare anche a un problema scolastico è per me un bel risultato, e dà al ragazzo la sensazione che la matematica non siano solo elucubrazioni astratte fatte di conti inutili. Ecco: secondo me l’occasione perduta da chi ha proposto la prova è stata proprio questa. Voi che ne pensate?

[le risposte ufficiali]

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