Peccare di montyhallismo

Stamattina ci sono stati in Bocconi i Giochi matematici a squadre. La gara è di quella in cui “vale tutto”, nel senso che le squadre possono chiedere a chiunque un aiuto: mi sa però che chi ha chiesto aiuto al sottoscritto non abbia fatto un grande affare. Uno dei quesiti delle prove odierne aveva questo testo:

Davanti a sé, Nando ha due sacchi: uno azzurro e l’altro rosso. Nel primo, ci sono 20 monete d’oro e 30 d’argento; nel secondo, 20 d’oro e 20 d’argento. Bendato, Nando estrae da uno dei due sacchi una moneta d’oro.
Qual è la probabilità che questa moneta d’oro provenga dal sacco rosso?

Il mio ragionamento è stato quello che segue. Denominiamo OA le monete d’oro nel sacco azzurro, AA le monete d’argento nel sacco azzurro, OR le monete d’oro nel sacco rosso e AR le monete d’argento nel sacco rosso. Ci sono 20 OA, 30 AA, 20 OR e 20 AR; visto che a posteriori sappiamo che la moneta è d’oro, elimino i casi AA e AR e vedo che i casi OA e OR hanno lo stesso numero di eventi possibili. Quindi la probabilità è 1/2.

Però poi ho fatto un secondo ragionamento (frequentista, per chi ha un’idea delle teorie dietro la probabilità) che mi ha dato un risultato diverso. Immaginiamo di avere venti Nandi che fanno il gioco. Dieci scelgono il sacchetto azzurro e gli altri dieci il rosso; dei primi, quattro troveranno la moneta d’oro mentre ci riusciranno in cinque dei secondi. Pertanto la probabilità di avere scelto il sacchetto rosso è 5/9, e non 1/2.

Qual è la risposta giusta? Immagino che in Bocconi vogliano la seconda; ma io continuo a non essere convinto che la formulazione del problema porti a quella interpretazione. Se avessi trovato scritto “Nando sceglie a caso un sacchetto e poi pesca una moneta dal sacchetto” allora non ci sarebbero dubbi, e la risposta sarebbe 5/9; però – almeno secondo me – questo cambia le regole del gioco, perché prevede esplicitamente di fare due scelte successive: prima il sacchetto e poi la moneta nel sacchetto. La mia risposta invece prevede un’unica scelta, il che naturalmente significa che il risultato può essere diverso.

Non vi viene in mente qualcosa di simile? Le diatribe sul paradosso di Monty Hall sono identiche. Chi afferma che cambiare porta o no è irrilevante non considera l’informazione aggiuntiva nello show: il presentatore sa benissimo dov’è nascosta l’auto, e quindi sceglie di aprire una porta seguendo i due vincoli “non posso aprire la porta scelta dal concorrente” e “non posso aprire la porta dove si trova l’auto”. Questo cambia del tutto lo spazio delle soluzioni del problema.

La vera domanda insomma è: qual è la probabilità che la mia formulazione fosse quella corretta? Voi che ne pensate?

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