Non accettate somme dagli sconosciuti

Un mesetto abbondante fa un losco figuro ha postato su un oscuro social network un link a un video che dimostrava come la somma dei numeri interi (1 + 2 + 3 + 4 + …) era tranquillamente calcolabile e valeva -1/12. (Non preoccupatevi, il video è in inglese ma ci sono tutte le immagini con i conti, quindi si capisce tutto lo stesso… o non si capisce nulla lo stesso?)
Quella sera ero più addormentato del solito, ma non trovavo nulla di così eccezionale nel ragionamento, soprattutto considerando che arrivava da un fisico; sapevo cosa c’era dietro e insomma non ci ho pensato più. Poi ho scoperto che la cosa è andata avanti: qui in Italia ne hanno per esempio parlato Dioniso e Juhan, con un po’ di link ai blog anglofoni dove a quanto sembra c’è stata una meza sollevazione popolare. Provo allora a fare un po’ d’ordine anche se in ritardo estremo.

Il “ragionamento” che Numberphile fa nel suo video non è molto difficile da seguire. Si parte con la serie infinita “1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 …”. Tale serie è nota da almeno tre secoli, ed è chiamata serie di Grandi, dal nome del matematico cremonese Guido Grandi che la studiò… e dimostrò che il suo valore è 1/2. Come? direte. Se continuiamo a fare le somme parziali abbiamo metà delle volte il valore 1 e l’altra metà il valore 0. Come fa allora il valore a essere 1/2? Semplice: si fa la media dei due valori! (No, non è così semplice, nel senso che Grandi fa un ragionamento partendo dalla divisione 1/(1+x); se si fa la divisione esplicita e poi si sostituisce a x il valore 1 abbiamo a sinistra 1/2 e a destra la nostra serie). Ma se la serie di Grandi ha come somma 1/2, è facile usare un po’ di algebra per ricavare che la serie “1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …” (su Wikipedia si parla anche di lei, anche se non le è mai stato dato un nome) ha come somma 1/4; altri facili conti e si arriva al risultato indicato all’inizio. Insomma, dove sta il trucco?

Semplice: abbiamo barato a dare il nome di “somma” al valore dele serie. Intendiamoci: è perfettamente lecito assegnare il valore 1/2 alla serie di Grandi. Quella è la somma di Cesàro, dal cognome del matematico italiano (il nome è Ernesto) della fine del XIX secolo che ha formalmente definito il metodo appunto per assegnare un valore ad alcune serie che valore non hanno. In matematica, come sapete, bisogna sempre stare attenti quando si gioca con l’infinito: le uniche serie che si possono sommare senza problemi sono quelle assolutamente convergenti, per cui cioè la serie associata dove si sostituiscono ai segni meno i segni più ha somma finita. Questo non è il caso della serie di Grandi, perché la serie associata è 1+1+1+1+… che ha somma infinita. Dunque, come si diceva prima, essa non ha somma; 1/2 è sì un valore sensato se devi pensare alla serie vista per conto suo, ma questo non significa che tu puoi usarlo per ricavare i valori di altre serie, come nel video originale. Per la cronaca, la seconda serie non ha neppure una somma di Cesàro; è sì possibile assegnarle il valore 1/4 ma con una definizione ancora più generale, che è quella di somma di Hölder. Non parliamo a questo punto della terza serie. Detto in altri termini: tutte le manipolazioni algebriche che si vedono nel video sono state proibite dai matematici, e quindi se uno si ostina a farle la garanzia di correttezza è immediatamente invalidata.

Fine della storia? macché. Tanto per dire, questi stessi risultati furono ritrovati da Ramanujan all’inizio del XX secolo; è vero che il grande matematico indiano difettava nel campo delle dimostrazioni, ma persino il grande Eulero scrisse che la serie dei numeri positivi aveva somma -1/12, senza preoccuparsi troppo della loro implausibilità. E in effetti c’è un’altra via per arrivare a quel risultato: una via “complessa”.

Partiamo dalla somma 1/1x + 1/2x + 1/3x + 1/4x + … Questa serie converge per x maggiore di 1 (per x=1 otteniamo la serie armonica che come sapete va all’infinito, e non parliamo di quello che capita con valori ancora minori). Però se invece che la x usiamo la z – nel senso che ci spostiamo nel campo dei numeri complessi – esiste una tecnica chiamata “prolungamento analitico” che permette di ottenere una funzione che coincide con quella iniziale dove essa è definita, ma è definita anche per molti altri valori. Nel nostro caso, per la precisione, è definita per tutti i numeri complessi tranne che per z=1. Occhei: questa funzione ha un nome che forse avete già sentito da qualche parte, zeta di Riemann (il primo matematico a studiarla è stato Eulero, come potete intuire dal nome). Bene: il valore che la zeta di Riemann prende per z=-1, cioè ζ(-1), è -1/12. Ma se riprendiamo la definizione della zeta di Riemann come somma infinita e sostituiamo a x (o z) il valore -1, abbiamo proprio la somma dei numeri interi! tutto torna, o se preferite tutto si complica ancora una volta. Insomma, dove sta il trucco?

Il trucco è che, contrariamente a quello che ci fanno credere a scuola, la matematica non è per nulla monolitica. Sul quadrante di un orologio non è affatto vero che 10+5=15, perché il risultato è 3. Lo stesso qua: se ci interessa sommare numeri interi ci limitiamo ai numeri interi e non andiamo a impelagarci con i numeri complessi. Occorre sempre capire quando possiamo avventurarci fuori dal nostro orticello e quando no.

Termino citando nientemeno che un post di Piergiorgio Odifreddi sul tema, se volete saperne un po’ di più.

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