Problemi per ferragosto 2013

Stavolta tutti i problemi sono tratti da Math Stack Exchange, anche se presumo non sia quella la fonte primaria. Le soluzioni tra una settimana.

1. Interi

Dimostrate che se n è un numero intero, allora lo è anche (n/3)+(n2/2)+(n3/6).

2. Partizioni

Immaginate di scegliere n+1 interi distinti tra 1 e 2n. Dimostrate che almeno due di essi sono primi tra loro, cioè il loro massimo comun divisore è 1.

3. Partizioni 2

Nelle stesse ipotesi del problema precedente (n+1 interi distinti scelti tra 1 e 2n), dimostrate che almeno due di essi sono uno il multiplo dell’altro.

4. Divisori a pezzi

Il numero 1200549600848 ha una curiosa proprietà: la prima cifra è divisibile per uno, il numero formato dalle prime due cifre (12) è divisibile per 2, quello formato dalle prime tre cifre (120) è divisibile per 3, e così via. Qual è il più grande numero con questa proprietà? (Ve lo dico subito: questo è un problema da affrontare al computer, non ci sono scorciatoie)

5. Lego

Avete a disposizione 78 pezzi rettangolari 1×2 con cui dovete riempire una scatola di dimensioni 52×3. Questo lo si può sicuramente fare. Se però c’è il vincolo ulteriore che due e solo due dei pezzi devono essere verticali, mentre tutti gli altri 76 sono orizzontali, quanti sono i modi possibili di riempire la scatola? Considerate i rettangoli come indistinguibili.

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