Il paradosso della decimazione

Immaginate che un perverso tiranno decida di uccidere un certo numero di persone in maniera peculiare. Inizialmente una persona viene fatta entrare in una stanza, e si lanciano due dadi. Se l’esito del lancio è doppio sei, la persona viene ammazzata e tutto finisce lì. Altrimenti vengono fatte entrare nove altre persone, e si lanciano nuovamente i dadi. Anche in questo caso, se c’è un doppio sei i nove vengono uccisi e la procedura termina; altrimenti i dieci scampati vengono fatti uscire e altre 90 nuove persone entrano nella stanza. La procedura continua, decuplicando il numero di persone (900, 9000…), fino a che viene lanciato un doppio sei; come sempre in questi problemi assumiamo una popolazione – e una stanza! – infinita, in modo da essere “certi” che prima o poi esca un doppio sei e la procedura termini.

Supponete ora di sapere di essere selezionati per questa mattanza. La vostra probabilità di non riuscire a sfangarla è evidentemente 1/36, meno del 3%: insomma non c’è da essere incoscientemente felici, ma dal vostro punto di vista si può essere moderatamente ottimisti. Alla fine dell’ecatombe, e prima di poter sapere chi effettivamente è stato ucciso, vostra madre viene a sapere che eravate stati selezionati. Dal suo punto di vista, il 90% di chi è stato sottoposto alla procedura è stato ucciso; altro che ottimismo. Chi dei due ha ragione?

Ho trovato il testo di questo paradosso su Futility Closet, che rimanda a un articolo del 1999 che a sua volta nell’abstract cita John Leslie e il Doomsday argument, tema che però mi pare un po’ fuori strada. Non avendo l’articolo a disposizione non posso raccontarvelo: ma nessuno mi vieta di fare elucubrazioni personali. Come si può affrontare questo paradosso, secondo voi?

La prima linea di attacco che mi è venuta in mente è quella del paradosso di San Pietroburgo: è vero che è “certo” che prima o poi appaia un doppio 6, nel senso che la probabilità che il risultato non esca mai è zero; ma è anche vero che non abbiamo una popolazione infinita né una quantità infinita di proiettili, quindi una singola procedura è impossibile. Beh, non necessariamente (ed è per quello, tra l’altro, che secondo me il Doomsday argument non c’entra). Immaginate che la vostra mamma abbia anche saputo che la procedura è terminata al settimo lancio di dadi, cioè con un milione complessivo di persone che vi è stato sottoposto, ma non sappia in quale gruppo voi siete stati selezionati. Qui di infinito non c’è più nulla: però dal punto di vista della mamma resta sempre il 90% di probabilità che voi ci abbiate lasciato la pelle. In questo caso però siete voi che dovreste forse preoccuparvi? Non è che la vostra probabilità di sopravvivenza sia crollata dopo questa notizia?

Nì. Se sapete a posteriori che ci saranno sette lanci prima che esca un doppio 6, o anche che ci saranno al più sette lanci, allora in effetti c’è il 90% di probabilità che voi moriate. Ma ci siamo spostati da una probabilità a priori (prima di entrare nella stanza abbiamo il 3% scarso di probabilità di morire) a una probabilità a posteriori (dopo che si sa che la procedura è terminata, si misurano le vittime). La probabilità a posteriori in un certo senso è l’unica che vostra mamma ha a disposizione, visto che se avesse la possibilità di sapere che la procedura è continuata allora saprebbe che voi siete sopravvissuti e la probabilità (ancora più a posteriori…) sarebbe zero, no?

Insomma, per come la vedo io è vero che di mamma ce n’è una sola, ma il ragionamento della mamma è viziato; non per colpa sua, chiaro, ma perché non ha tutte le informazioni necessarie per calcolare correttamente la probabilità. Voi come la vedete?

(ah: se volete vedere altri modi ancora per definire lo spazio degli eventi del problema, questa discussione può esservi utile)

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