Quanto fa 0^0?

Ci sono domande che capitano sovente, e se devo essere sincero non ho mai capito bene il perché: in fin dei conti si vive tranquillamente lo stesso pur non sapendo quale sia la risposta, e non si può nemmeno dire che la vita migliori una volta che la risposta è nota. Oggi riprendo una di queste domande, approcciata in maniera altamente sperimentale (e ad ampio raggio!) da Juhan: quanto fa zero alla zero? La risposta monoverbica è “indeterminato”; i curiosi possono continuare a leggere.

Inizio subito a togliere a qualcuno una certezza: il fatto che un’operazione matematica sia ben formata non implica affatto che debba avere un risultato. L’esempio più banale è la divisione per zero; non esiste alcun numero reale x tale che 1/0=x, e viceversa qualunque numero y è la “soluzione” dell’equazione 0/0=y. Se ci pensate un attimo non è che questo secondo caso sia così migliore del primo: se un qualunque numero va bene, di informazione non ne hai punta e quindi stai facendo un lavoro inutile. Ma torniamo alla nostra equazione iniziale 0^0; o se non vi piacciono le faccine, 00.

Da tre secoli abbondanti il modo che i matematici hanno per trovare il risultato di un’equazione più o meno ignota è vedere cosa succede usando valori quasi uguali a quelli dati, partendo dal presupposto che se anche i risultati sono quasi uguali allora possiamo fidarci del risultato. In realtà i matematici hanno scoperto più di 150 anni fa che la cosa non è che funzioni così bene, ma per il momento facciamo finta di nulla. Noi in fin dei conti conosciamo alcune formule sugli esponenziali: per esempio sappiamo che x0=1 per qualunque valore diverso da zero di x, per l’ottima ragione che abbiamo definito (notare il termine) x0 = x1/x1 in modo che valesse in generale la formula xa/xb=xab. Pertanto, se la funzione x0 vale sempre 1 quando il suo valore è definito, si direbbe naturale estendere tale valore anche quando x=0.

Però qualcun altro potrebbe fare un ragionamento del tutto simile e dire che sappiamo che 0y=0 per qualunque valore diverso da zero di y, per l’ottima ragione che vale per gli interi maggiori di uno – moltiplicate quanto volete zero per sé stesso e rimarrà sempre zero – e per le regole di cui sopra la stessa cosa vale per tutti i razionali non nulli; a questo punto andare sui reali è (si fa per dire) immediato. Pertanto, se la funzione 0y vale sempre 0 quando il suo valore è definito, si direbbe naturale estendere tale valore anche quando y=0. Oops: qualcosa non funziona: 00 non può valere contemporaneamente 0 e 1!

Qui sopra potete vedere il risultato, calcolato con Wolfram Alpha, di un approccio apparentemente più sofisticato: vedere cosa succede alla funzione xx quando x si avvicina a zero. Per i valori negativi di x si passa ai numeri complessi, ma la cosa non è che ci importi più di tanto: limitiamoci a guardare la riga azzurra e vediamo che 1 si direbbe proprio il candidato migliore per il valore della funzione in x=0. Tutti d’accordo? Spero di no. In effetti lo stesso Wolfram Alpha, se gli si dà in ingresso “0^0”, essendo molto saggio risponde “(indeterminate)”; e in questo caso non fidatevi di Google che dà 1.

Io in definitiva concordo sulla prima frase della risposta data a Juhan su Quora (!) da Anders Kaseorg, che scrive «It merely means that exponentiation cannot be a continuous function in any neighborhood of that value.» (“Significa solo che l’elevazione a potenza xy non può essere una funzione continua in nessun intorno del valore (0,0)”). Sono meno d’accordo sul resto della sua risposta, vale a dire «And so we assign 0^0 the value that’s useful, which is 1. Why is that useful? Because it lets us manipulate exponentials without special cases.» (“E allora assegniamo a 0^0 il valore più utile, cioè 1. Perché è utile? Perché ci permette di manipolare gli esponenziali senza casi speciali”). No, non è vero: abbiamo sempre il caso speciale di 0y che varrebbe 0 tranne nel caso in cui y=0. Prendiamo il coraggio a due mani, e accettiamo il fatto che la risposta non c’è. Conoscete Art Gallery di Maurits Cornelis Escher? L’artista aveva lo stesso problema: un punto dove la funzione “disegno” non poteva essere continua. Escher l’ha risolto mettendo la sua firma in quel punto, che così rimane sfumato.

In matematica le definizioni e gli assiomi si scelgono per la loro utilità, non perché sembrano più belli. Fino a tutto il XIX secolo la definizione di numero primo comprendeva anche 1; poi si è pensato che il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica (“ogni numero naturale positivo ammette un’unica fattorizzazione in fattori primi”) era così fondamentale che sarebbe stato meglio togliere la postilla “eccetto per un numero a piacere di fattori 1”, e così 1 ha perso il proprio status… curiosamente riavvicinandosi al concetto degli antichi greci per cui 1 non era un numero ma la base per costruire i numeri. Siete informatici e volete lasciare 0^0=1? Poi non lamentatevi se in qualche caso particolare il vostro programma non funziona. Che poi in informatica il valore NaN è così carino…

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