La grande truffa dei playoff

Avevo promesso di parlare della matematica del girone finale degli Europei di calcio 2012, ma a ben pensarci è difficile dare delle stime valide del relativo valore delle squadre: ho così pensato che magari potevo ampliare il discorso, e parlare generalmente delle fasi finali a eliminazione diretta di un torneo.

Iniziamo subito con un caso facile. Ci sono 8 squadre, e il torneo è a partita secca, proprio come agli Europei: la squadra più forte vince una qualsiasi partita due volte su tre, mentre la squadra più debole riesce a vincere solo una volta su tre con una qualunque altra avversaria. (Non ci è dato di sapere come le altre squadre si comportano nei match tra di loro). Come sapete, in questi casi il pareggio non è ammesso. Allora, il torneo sarà probabilmente vinto dalla squadra più forte, no?

Beh, non proprio. Certo, quella squadra ha la maggior probabilità relativa di vincere il campionato, ma la probabilità assoluta non è così alta come si potrebbe credere. I conti sono facili: chi vince il torneo deve vincere tre partite, e se la probabilità di vincerne una è p quella di vincerne tre è p3. Sostituendo a p il valore 2/3 abbiamo come probabilità totale 8/27, cioè meno del 30%. La squadra più debole può vincere con una probabilità 1/27, che non è molto ma nemmeno pochissimo nel caso qualcuno si ricordasse della Danimarca nel 1992.

Mettiamola in questo modo: le partite secche sono un modo per spalmare un po’ le probabilità tra le varie squadre, perché la palla è rotonda e tutte le solite storie che telecronisti e giornalisti si sentono in dovere di raccontarci non appena qualcosa non funzioni per il verso immaginato. Ma si sa che noi esseri umani abbiamo una predilezione per il più debole ma in realtà tifiamo per il più forte, e anche nei campionati cerchiamo di aggiustare le cose – no, non sto parlando di calcioscommesse. Qual è stata la grande idea? Semplice: i playoff!

I playoff, in sport come pallavolo e basket, si tengono al meglio di due gare su tre, tre su cinque, o addirittura quattro su sette. Più gare si fanno, più aumenta il vantaggio per la squadra più forte, che ha la possibilità di recuperare qualche sconfitta. Torniamo all’esempio iniziale con p=2/3 e vediamo cosa succede. Se si gioca al meglio delle tre gare, la probabilità di passare un singolo turno sale a 20/27, cioè quasi il 75%, e nelle tre gare si arriva al 40%: è già qualcosa, insomma. Ma con cinque partite la probabilità di passare un turno sale a 192/243, il 79% abbondante, e quella di vittoria finale sfiora il 50%. Lascio al lettore che ha voglia di farsi i conti scoprire se all’aumentare del numero di partite in un singolo turno la probabilità di vittoria finale si avvicina al 100% oppure non può superare un certo limite….

Nel mondo reale è vero che bisogna tenere conto del fattore campo, che cambia un po’ le carte in tavola, o meglio le probabilità relative; ma è anche vero che la probabilità di vittoria casalinga della squadra più forte è molto alta, il che alla lunga favorisce ancora di più. Immaginiamo stavolta che la squadra più forte vinca in casa in media il 5/6 delle volte, mentre fuori casa le probabilità siano pari. Ho scelto questi numeri perché la media di vittorie resta 2/3, proprio come nei casi precedenti. Ma nei playoff la squadra più forte gioca in casa una partita in più, se ricordate: come cambiano le probabilità? Mi limito a mostrare il caso di un playoff al meglio delle tre partite: la squadra più forte passa ciascun turno con probabilità 5/6, e di vincere il torneo – ricordo che ci sono otto squadre in gara, nella nostra simulazione – con una probabilità maggiore di 4/7 (125/216, per i pignoli).

Visto? Altro che spettacolo: qui si parla di congiura per favorire i più forti e già che si è lì guadagnare un po’ più di soldi coi diritti televisivi…

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