Il paradosso di Richard

Ho già parlato a suo tempo del paradosso di Berry: in poche parole, se parliamo del più piccolo numero che non si può definire in meno di quindici parole, allora lo possiamo definire come “il più piccolo numero che non si può definire in meno di quindici parole”, e quindi in sole quattordici parole. A suo tempo, a dire il vero, non avevo completato la dimostrazione del paradosso: di per sé, quella contraddizione dice semplicemente che non può esistere quel numero, ma non vieta di giungere alla conclusione “tutti i numeri possono essre definiti in meno di quindici parole”. Lascio al lettore il compito di completare la dimostrazione: può essere utile cambiare formulazione e parlare di lettere, non di parole.

Ma l’inizio del XX secolo ha visto molti altri esempi di antinomie, che mostravano da un lato che la teoria degli insiemi stava prendendo piede nella comunità matematica e dall’altro che non è che fosse ancora così ben compresa. Ecco un altro esempio, che prende il nome dal matematico francese Jules Richard che lo presentò nel 1905.

Il guaio del paradosso di Berry è a prima vista semplice: la proprietà “essere definito in meno di quindici parole” è lessicale e non numerica, quindi stiamo mischiando due piani diversi. Nema problema, dice Richard: prendiamo un linguaggio – immagino lui abbia usato il francese, io sceglierò l’italiano” in cui si possano formulare e definire le proprietà puramente aritmetiche dei numeri interi. Avremo la necessità di definire alcune “proprietà postulate”, che cioè non possono essere definite a partire da altre proprietà e dovremo intuire in altro modo. Chessò, “un intero è divisibile per un altro”, oppure “un intero è il prodotto di due interi”, o ancora “due numeri di una certa classe sono consecutivi se non ce n’è nessun altro di quella classe compreso tra essi”. Altre proprietà possono essere invece ricavate: per esempio si può definire un numero dispari “un intero che non è divisibile per due”, e un quadrato “il risultato di un numero moltiplicato per sé stesso”, oppure “la somma di numeri dispari consecutivi a partire da 1”.

Ogni definizione che possiamo scrivere è composta da un numero finito di parole, e pertanto da un numero finito di lettere dell’alfabeto, dove tre le “lettere” consideriamo anche lo spazio e i segni di interpunzione. Questo significa che possiamo ordinare le definizioni. Per la precisione, una definizione A precede nell’ordine una definizione B se A ha meno lettere di B, oppure se hanno lo stesso numero di lettere e A precede B nell’ordine alfabetico. Ma soprattutto, le definizioni possibili sono una quantità numerabile, avendo tutte un numero finito di lettere; quindi possiamo associare ad esse un numero intero, dalla prima che avrà associato 1 in poi. Questo significa che a volte potrà capitare che a una definizione venga associato un numero che risponde alla definizione stessa: per esempio, se il numero d’ordine della definizione “un intero che non è divisibile per due” è 65535 siamo in questo caso, mentre se il numero d’ordine fosse stato 42 non ci siamo. Definiamo ora numero richardiano un numero N che non risponde alla definizione numero N. Questa è indubbiamente una definizione numerica, giusto? Quindi avrà un suo numero d’ordiner nel nostro listone. Ormai siete esperti di paradossi, e avete già capito qual è la mossa successiva: chiedersi se r è o no richardiano. Se lo fosse, allora per definizione non avrebbe la proprietà di essere richardiano, ma se non lo fosse allora lo sarebbe!

Dov’è il trucco? Semplice: la proprietà di essere richardiano è sì numerica, ma non è una vera proprietà aritmetica bensì una metaproprietà, visto che per definirla abbiamo dovuto aggiungere alle definizioni aritmetiche anche un altro tipo di definizioni, quelle lessicali e di ordinamento alfabetico. Pertanto non è vero che è nel nostro listone, e il paradosso immediatamente svapora. Ma non prendetevela troppo con questo anticlimax: il paradosso di Richard è stato il punto di partenza che Gödel ha usato per arrivare al suo teorema di incompletezza, riuscendo a trovare un modo per rappresentare le proprietà metamatematiche nel linguaggio matematico; se andate a rivedere la dimostrazione del teorema, vi accorgerete di come la prima parte serve appunto ad avere un ambiente matematico ben definito, mentre la seconda ricorda la costruzione del paradosso di Richard. Visto? Anche Gödel non parte dal nulla!

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