Il paradosso di Ross-Littlewood

Il bello degli esperimenti mentali è che permettono di pensare a sei cose impossibili prima di colazione. Eccovene una, che però potrebbe farvi saltare la colazione…
Immaginate di avere un’urna bella grande, e di compiere le seguenti perazioni. A mezzogiorno meno un minuto inserite nell’urna dieci palline numerate da 1 a 10, e contemporaneamente togliete quella col numero 1. A mezzogiorno meno mezzo minuto inserite le palline numerate da 11 a 20, e togliete la numero 2. A mezzogiorno meno 1/3 di minuto inserite le palline numerate da 21 a 30, e togliete la numero 3. Continuate così, sempre più vorticosamente: a mezzogiorno meno 1/n di minuto aggiungete le palline da 10n−9 a 10n, e togliete la numero n. A mezzogiorno quante palline ci saranno nell’urna?

Il primo ragionamento che si può fare è banalmente numerico: il risultato netto di ciascuna operazione è aggiungere nove palline, quindi a mezzogiorno ci sarà un numero infinito di palline. Se però vediamo la cosa in maniera un po’ più accurata, le nostre certezze iniziano a vacillare. La pallina numero 1 non c’è nell’urna: l’abbiamo tolta a mezzogiorno meno 1 minuto. Non c’è neppure la pallina numero 2: l’abbiamo tolta a mezzogiorno meno 1/2 minuto. E la pallina numero 31415? L’abbiamo tolta a mezzogiorno meno 1/31415 minuti. Insomma, presa una qualsiasi pallina possiamo dimostrare che è stata tolta dall’urna; ma allora l’urna è vuota! Peggio ancora, immaginiamo ora di essere un po’ miopi e non essere riusciti guardare i numeri scritti sulle palline quando li togliamo; il ragionamento fatto qui sopra non vale più – come facciamo a sapere se effettivamente abbiamo tolto la pallina 1? – e quindi torniamo ad averne un numero infinito…

La situazione niente affatto bella che si ottiene con la successione infinita di operazioni mostrata qui sopra è nota è nota come Paradosso di Ross-Littlewood. Le cose possono anche peggiorare: se scegliamo opportunamente le palline da eliminare a ogni passo, possiamo fare in modo da restare a mezzogiorno con un numero qualunque di palline. E c’è una versione del paradosso dove non si toglie nessuna pallina, eppure alla fine delle operazioni non resta comunque nulla nell’urna! Nella nuova versione, a mezzogiorno meno un minuto si inseriscono le palline numerate da 1 a 9, e si rinomina la 1 in 10; quindi resteranno i numeri da 2 a 10.. A mezzogiorno meno mezzo minuto si inseriscono le palline da 11 a 19 e si rinomina la 2 in 20; resteranno i numeri da 3 a 20. Proseguendo come al solito, a mezzogiorno si può nominare un numero qualsiasi ed essere certo che non c’è più, perché è stato rinominato…

Operazioni – naturalmente teoriche! – di questo tipo sono chiamate supertask, termine coniato dal filosofo James F. Thompson che come esempio archetipale di supertask ha descritto la Lampadina di Thompson: la lampadina all’istante t=0 è spenta, e ha un interruttore che a intervalli di tempo che continuano a dimezzarsi cambia il suo stato. Quindi la lampadina a t=1 si accende, a t=3/2 si spegne, a t=7/$ si accende… Quale sarà il suo stato a t=2? E quale sarebbe stato il risultato se inizialmente fosse stata accesa? (no, la risposta “la lampadina è spenta perché a furia di accenderla e spegnerla si è fulminata” non è considerata valida in questo contesto). Un supertask insomma è un compito che richiede un numero infinito (ma numerabile) di operazioni che vengono compiute in un tempo finito. Se le operazioni sono un infinito più che numerabile allora si parla di ipertask, ma non ho mai osato addentrarmi fin lì.

La posizione di Thompson è che i supertask non possano esistere nemmeno logicamente, oltre che nella realtà, e che quindi la domanda sia malposta; la stessa posizione dei costruttivisti in matematica, posizione però che è minoritaria. La mia personale posizione è che il supertask è idealmente possibile come lo è il calcolo infinitesimale, ma che la risposta sia indefinita, esattamente come è indefinito il risultato di 0/0 oppure ∞ − ∞; non certo il massimo della vita, visto che in pratica sto nascondendo la polvere sotto il tappeto, ma meglio che niente. Mi sa che il matematico medio non si preoccupa di queste cose, e probabilmente fa anche bene; voi curiosi che siete passati di qua, invece?

[in questi giorni sono in disintossicazione internettara, non aspettatevi miei commenti prima di Ferragosto]