Scusandomi per la mia latitanza in questo periodo, volevo segnalare il podcast audio (lo pigliate da qui) della trasmissione di Radio Popolare Tre metri sopra il CEPU di martedì scorso: Alessandro Russo parlava dell’infinito in matematica, e finalmente potrete scoprire tutte le ricadute nella vita di tutti i giorni di questa grande scoperta (invenzione?) di Georg Cantor.
Poi c’è naturalmente lo sporco link pubblicitario: mercoledì 3 agosto sarò io a fare l’Esperto a 3MSC. Dalle 17 alle 18 – con in mezzo tante altre cose, non preoccupatevi – parlerò immagino delle geometrie non euclidee. Il podcast sarà comunque recuperabile subito dopo, e linkato qua.
(no, non riesco a linkare, grazie a ITunes: però posso dirvi che dalla pagina di 3MSC bisogna cercare la Diciottesima Puntata e la Puntata Segreta subito sopra)
ok, visto che si parla d’infinito vorrei esporre un qualcosa che frulla nella mia testa di profano da un po’ di tempo e che riguarda l’ipotesi del continuo.
Se considero la retta (infinita) dei numeri reali e il segmento degli stessi numeri reali compresi tra 0 e 1 (infiniti) non vedo come si possano mettere in corrispondenza biunivoca i primi e i secondi. Ma se questa corrispondenza è impossibile allora i due insiemi non sono equipollenti. E quindi deve esistere una cardinalità intermedia tra N e R.
Dov’è che sbaglio? C’è un modo di mettere in corrispondenza biunivoca i due insiemi considerati?
@andywhynot: geometricamente lo fai con una proiezione, ma non ho voglia di farti un disegno; algebricamente puoi mettere in corrispondenza biunivoca l’intervallo ]-1,1[ (che mi concederai essere equivalente a ]0,1[ e la retta infinita con la funzione che per x=0 vale 0, per x>0 vale (1/x)-1 e per x<0 vale (1/x)+1.
Se vuoi anche gli estremi (la notazione ]a,b[ indica i numeri strettamente compresi tra a e b) dovrei spiegarti il teorema di Cantor-Bernstein, oppure ti fidi banalmente che aggiungere un numero finito di punti non cambia il livello di infinito.
ripensandoci, non è nemmeno difficile fare una bijezione tra ]-1,1[ e [-1,1]. Mandi 1/(n+1) in 1/n per ciascun n intero diverso da zero, e lasci tutti gli altri numeri al loro posto. A questo punto combini le due bijezioni e ne hai una tra [-1,1] e tutta la retta.
Da analista io userei la cara vecchia funzione tangente calcolata sulla retta che congiunge (0,-pi/2) e (1,pi/2) ovvero f(x) = tg[(pi/2)*(2x-1)], 0<x<1.
La funzione lineare (pi/2)*(2x-1) varia tra -pi/2, per x=0 e pi/2 per x=1 e nell'intervallo ]-pi/2,pi/2[ la funzione tangente e' biettiva, continua con inversa continua, ancora una vecchia conoscenza, la funzione arcotangente.
Disegnando la tangente mentre un punto sul cerchio unitario "ruota" tra -90gradi e +90gradi si vede benissimo che trasforma l'intervallo ]-pi/2,pi/2[ nell'intera retta reale e lo fa con continuita'.
Ha anche il pregio quindi di proiettare "geometricamente" un intervallo aperto nella retta reale.
L'intervallo "chiuso" [0,1] … e' un'altra storia … ;-)
Alea.
@alea: basta non chiedere la continuità :-)
Per un analista è una bestemmia, ma parlando di cardinalità la continuità non serve affatto, e quindi puoi fare trucchetti come quello che ho indicato prima nei commenti.
Geniale la funzione! Bella nella sua semplicità e efficacia.
Per quanto riguarda la proiezione potrei prendere il segmento, farne una semicirconferenza con il diametro secante parallelo alla retta R e mettere in corrispondenza biunivoca i due punti nei quali la semiretta uscente dal centro della (semi)circonferenza interseca la retta e la semicirconferenza stessa. Ovviamente il segmento potrebbe rappresentare qualsiasi intervallo.
Beh, ora sembra facile, grazie.
Ovviamente per la cardinalita’ la continuita’ e’ un inutile orpello. E altrettanto ovviamente nessuna “biiezione” continua con inversa continua puo’ esistere tra un intervallo chiuso [a,b] della retta reale, compatto, e la retta stessa R, che non e’ compatta. Necessariamente almeno una delle due dovra’ avere delle discontinuita’.
Volevo solo far notare che, nel caso di un intervallo aperto ]a,b[ l’omeomorfismo esiste ed e’ una delle care vecchie funzioni trigonometriche: non solo hanno la stessa cardinalita’, ma topologicamente parlando “sono” lo stesso oggetto.
Qualcosa di piu’ quindi che insiemi con la stessa cardinalita’.
Alea.
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