Problemini matematici ferragostani

Tra due giorni è ferragosto, e non so quanta gente abbia ancora la voglia di stare a leggere questo blog di matematica. Così, invece del solito post, vi lascio qualche problemino, così avete una buona scusa per non leggere; le risposte – se non le scriverete già voi nei commenti – arriveranno alla fine della prossima settimana. La difficoltà dei problemi è varia: non sono stati messi in ordine, perché io sono un tipo disordinato :-)

1. Questione di altezze

In un triangolo rettangolo, il prodotto delle tre altezze è la metà del prodotto dei tre lati. Di quanti gradi è l’angolo più piccolo del triangolo?

2. Derivata

Se avete fatto lo scientifico, saprete che la derivata di una funzione indica più o meno quanto cresce o decresce una funzione in ciascun suo punto; ad esempio la derivata di f(x)=x2 è f'(x)= 2x. Cosa c’è allora che non va in questa dimostrazione, dove per comodità indico con D[] l’operazione di derivazione rispetto a quello che c’è tra le parentesi quadre e suppongo di calcolare la derivata per un valore intero positivo di x (altrimenti il primo passaggio non funziona)?

D[x^2] = D[x + x + ... + x (x volte)]
   = D[x] + D[x] + ... + D[x] (x volte)
   = 1 + 1 + ... + 1 (x volte)
   = x

3. Osservazioni

Menelao guarda Elena, Elena guarda Paride. Menelao è sposato, Paride no. C’è una persona sposata che guarda una persona non sposata, sì o no? Oppure non è possibile dirlo con certezza?

4. Centro di gravità permanente

Supponiamo di avere una brocca vuota di forma qualsiasi, il cui centro di gravità sia più alto del suo fondo. Iniziamo ora a versarci dentro dell’acqua finché il centro di gravità della brocca con l’acqua si trova al suo minimo. Dimostrate che tale centro di gravità si trova sulla superficie dell’acqua.

5. Fermat alla rovescia

Come sapete, Andrew Wiles ha finalmente dimostrato l'”ultimo teorema di Fermat”: mentre per n=2 ci sono infinite soluzioni intere positive all’equazione an + bn = cn, quando n è maggiore o uguale a 3 non ce n’è nessuna.
Naturalmente non vi chiedo di dimostrare quel teorema: però potreste cimentarvi con un “Fermat alla rovescia”. Considerate l’equazione na + nb = nc: dimostrate che ha infinite soluzioni intere positive per n=2, e non ne ha nessuna quando n è maggiore o uguale a 3.

(le risposte sono qua, per la cronaca)

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